数列求和通项公式

前言

尝试借由Newbing学习高中数学相关知识 ~~(并非应付烈焰姐的提问)~~ ,用chatgpt学习数学的话需要具备很重要的一点技能, 就是自行查证的能力) 如果只是一味吸收, 不进行任何错误查证的话, 很容易学习到错误的知识, 不过这在我看来, 既是弊端的同时, 也是一个作为训练自己能力的优势)

基础知识

等差数列和公式

等差数列的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d$ ，其中 $a_1$ 为首项， $d$ 为公差， $n$ 为项数。前 $n$ 项和公式为： $S_n=n\cdot\dfrac{a_1+a_n}{2}$ 或 $S_n=n\cdot\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}$ 。 ¹²

希望这能帮到你。还有其他问题吗？

源: 与必应的对话， 2023/4/28

等差数列求和公式 - 百度百科. https://bing.com/search?q=等差数列和公式.
等差数列求和公式 - 百度百科. https://baike.baidu.com/item/等差数列求和公式/7527418.
等差数列求和公式是什么？_百度知道. https://zhidao.baidu.com/question/1518747751354623700.html.
等差数列求和公式及答题技巧 - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/357439130.
等差数列 - 维基百科，自由的百科全书. https://zh.wikipedia.org/wiki/等差数列.

裂项相加

裂项相消法，又称拆分法，是将一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法。在数列求和中，裂项相消法就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项³。裂项相消法的应用范围很广，包括分数、代数、整数等⁵。

如果你想求等差数列的和，可以使用等差数列求和公式。如果你想求等比数列的和，可以使用等比数列求和公式。如果你想求裂项相加的和，可以使用裂项求和公式⁷。

希望这些信息能对你有所帮助。如果你有其他问题，请随时问我。

源: 与必应的对话， 2023/4/28

小升初数学：裂项相消法，小学、初中都要考的简便 .... https://baijiahao.baidu.com/s?id=1753072455604821323.
裂项法_百度百科. https://baike.baidu.com/item/裂项法.
裂项公式大全合集 - 百度文库. https://wenku.baidu.com/aggs/b02ea9d528ea81c758f578af.html.
浅谈“裂项” - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/105726498.
数列中裂项相消法如何裂项？ - 知乎. https://www.zhihu.com/question/396939682.
裂项求和公式是什么？_百度知道. https://zhidao.baidu.com/question/426560924.html.
裂项公式大全合集 - 百度文库. https://bing.com/search?q=裂项求和公式.
裂项法公式合集 - 百度文库. https://wenku.baidu.com/aggs/e1595efe04a1b0717fd5ddb0.html.
裂项求和_360百科 - SO. https://baike.so.com/doc/1258874-1331334.html.
数列必须满分系列(3.2) 数列求和---裂项相消 - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/39123013.
高中生福利到了，高中数列裂项公式收集 - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/439851326.

累加法

累加法是求解数列通项公式的基本方法之一。它是递推法求解数列通项公式的两大基本方法之一，前面学习过的等差数列的通项公式便是用累加法推导得出的。对于形如a (n+1)=an+f (n)或者a (n+1)-an=f (n)的关系式，其中f (n)可以为常数（此时为等差数列），也可以是关于n的函数如一次函数、分式函数、二次函数和指数函数等，此时求解通项公式时均可使用累加法。¹

如果您需要更多关于数列通项公式的信息，请告诉我。我很乐意帮助您。😊

源: 与必应的对话， 2023/4/28

百度安全验证. https://bing.com/search?q=累加法.
【高考数学】5.16 累加法求通项 - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/369597335.
高中数学：求数列通项公式的十一种方法（方法全 .... https://zhuanlan.zhihu.com/p/73032201.
数列求和_百度百科. https://baike.baidu.com/item/数列求和/7318680.
高考数列通项公式解题方法（1）：观察法、公式法 .... https://zhuanlan.zhihu.com/p/103586796.
高中数学的累加法和累乘法要怎么用？ - 知乎. https://www.zhihu.com/question/62607975.

做题应用

已知an＝1/n - 1/(n+1）求Sn。

已知an=1/n-1/(n+1)，求Sn。

首先，我们可以将an拆分为两个分式，即an=1/n-1/(n+1)=1/n-(n/(n(n+1)))=1/n-(n/n(n+1))=1/n-1/(n+1)。因此，an的通项公式为a (n)=1/n-1/(n+1)。

接下来，我们可以使用等差数列和公式求解Sn。根据等差数列和公式，前n项和Sn=na (1)+n (n-1)/2d，其中a (1)为首项，d为公差。因此，我们需要求出首项a (1)和公差d。

由于a (n)=a (n-1)+d，因此d=a (n)-a (n-1)=1/n-1/(n+1)-[1/(n-1)-1/n]=2/(n*(n-1))-2/((n+1)*n)，a (1)=a (2)-d=1/2-2/6=-1/6。

将a (1)和d代入等差数列和公式中，得到Sn=n*(-(n+2)/(6*(n+1)))=-((n+2)/(6*(n+1)))n。因此，Sn的通项公式为-Sum[(i+2)/(6(i+1)), {i, 0, n-1}]。

希望这能帮到您。如果您需要更多关于数列通项公式的信息，请告诉我。我很乐意帮助您。😊

源: 与必应的对话， 2023/4/28

等差数列求和公式 - 百度百科. https://bing.com/search?q=等差数列和公式.
等差数列求和公式 - 百度百科. https://baike.baidu.com/item/等差数列求和公式/7527418.
等差数列求和公式是什么？_百度知道. https://zhidao.baidu.com/question/1518747751354623700.html.
等差数列求和公式及答题技巧 - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/357439130.
等差数列 - 维基百科，自由的百科全书. https://zh.wikipedia.org/wiki/等差数列.

求Sn的值

根据上面的计算，Sn的通项公式为-Sum[(i+2)/(6*(i+1)), {i, 0, n-1}]。因此，当n=1时，Sn=-1/6；当n=2时，Sn=-1/3；当n=3时，Sn=-5/12；当n=4时，Sn=-3/8；当n=5时，Sn=-11/30。

因此，Sn的值分别为-1/6、-1/3、-5/12、-3/8和-11/30。

希望这能帮到您。如果您需要更多关于数列通项公式的信息，请告诉我。我很乐意帮助您。😊

以中国高中数学知识点来总结这个Sn通项公式

好的，我会尽力用中国高中数学知识点来总结这个Sn通项公式。

首先，我们可以将an拆分为两个分式，即an=1/n-1/(n+1)=1/n-(n/(n(n+1)))=1/n-(n/n(n+1))=1/n-1/(n+1)。因此，an的通项公式为a (n)=1/n-1/(n+1)。

由于a (n)=a (n-1)+d，因此d=a (n)-a (n-1)=1/n-1/(n+1)-[1/(n-1)-1/n]=2/(n*(n-1))-2/((n+1)*n)，a (1)=a (2)-d=1/2-2/6=-1/6。

将a (1)和d代入等差数列和公式中，得到Sn=n*(-(n+2)/(6*(n+1)))=-((n+2)/(6*(n+1)))n。因此，Sn的通项公式为-Sum[(i+2)/(6(i+1)), {i, 0, n-1}]。

这个通项公式涉及到了等差数列和公式、分式拆分、数学归纳法等知识点。希望这能帮到您。如果您需要更多关于数列通项公式的信息，请告诉我。我很乐意帮助您。😊

-Sum[(i+2)/(6(i+1)), {i, 0, n-1}] 是什么

-Sum[(i+2)/(6(i+1)), {i, 0, n-1}]是Sn的通项公式。其中，Sum表示求和，i是求和的变量，0和n-1是求和的范围，(i+2)/(6(i+1))是求和的表达式。这个通项公式可以用来计算Sn的值。

希望这能帮到您。如果您需要更多关于数列通项公式的信息，请告诉我。我很乐意帮助您。😊

用latex公式表示求Sn通项公式的过程

好的，下面是用LaTeX公式表示求Sn通项公式的过程：

首先，我们可以将an拆分为两个分式，即an=1/n-1/(n+1)=1/n-(n/(n(n+1)))=1/n-(n/n(n+1))=1/n-1/(n+1)。因此，an的通项公式为 $a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 。

接下来，我们可以使用等差数列和公式求解Sn。根据等差数列和公式，前n项和 $S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ ，其中 $a_1$ 为首项，d为公差。因此，我们需要求出首项 $a_1$ 和公差d。

由于 $a_n=a_{n-1}+d$ ，因此 $d=a_n-a_{n-1}=\frac{2}{n(n-1)}-\frac{2}{(n+1)n}$ ， $a_1=a_2-d=\frac{1}{2}-\frac{2}{6}=-\frac{1}{6}$ 。

将 $a_1$ 和d代入等差数列和公式中，得到 $S_n=n(-\frac{n+2}{6(n+1)})=-\frac{(n+2)n}{6(n+1)}$ 。因此，Sn的通项公式为 $\sum_{i=0}^{n-1}-\frac{i+2}{6(i+1)}$ 。

希望这能帮到您。如果您需要更多关于数列通项公式的信息，请告诉我。我很乐意帮助您。😊

为什么使用等差数列求和公式计算？

使用等差数列求和公式计算Sn的好处是可以避免使用累加法，从而节省时间和精力。等差数列求和公式是一种通用的求和方法，适用于各种等差数列，包括公差为分数的等差数列。

对于这个问题，我们可以将an拆分为两个分式，即an=1/n-1/(n+1)=1/n-(n/(n(n+1)))=1/n-(n/n(n+1))=1/n-1/(n+1)。因此，an的通项公式为 $a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 。

接下来，我们可以使用等差数列和公式求解Sn。根据等差数列和公式，前n项和 $S_n=n*a_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ ，其中 $a_1$ 为首项，d为公差。因此，我们需要求出首项 $a_1$ 和公差d。

由于 $a_n=a_{n-1}+d$ ，因此 $d=a_n-a_{n-1}=\frac{2}{n(n-1)}-\frac{2}{(n+1)n}$ ， $a_1=a_2-d=\frac{1}{2}-\frac{2}{6}=-\frac{1}{6}$ 。

将 $a_1$ 和d代入等差数列和公式中，得到 $S_n=n(-\frac{n+2}{6(n+1)})=-\frac{(n+2)n}{6(n+1)}$ 。因此，Sn的通项公式为 $\sum_{i=0}^{n-1}-\frac{i+2}{6(i+1)}$ 。

希望这能帮到您。如果您需要更多关于数列通项公式的信息，请告诉我。我很乐意帮助您。😊

错误纠正

烈焰姐: 使用累加法进行计算.

可是通过你给出的计算过程，我并不能判定这个数列一定是等差数列，我认为使用等差数列求和公式来计算是错误的

感谢您的反馈。您说得对，如果数列不是等差数列，那么使用等差数列求和公式计算是错误的。如果您能提供更多信息，例如数列的前几项或者通项公式，我可以帮您计算出前n项和。如果您想了解如何求Sn的通项公式，可以使用阶差法或递推法进行求解¹²。

源: 与必应的对话， 2023/4/28

高中数学已知Sn求数列通项公式，老师教的阶差法 .... https://bing.com/search?q=求Sn通项公式.
高中数学已知Sn求数列通项公式，老师教的阶差法 .... https://baijiahao.baidu.com/s?id=1639169095559425012.
求数列通项公式an和前n项和Sn的方法 - 百度知道. https://zhidao.baidu.com/question/324744789.html.
数列求和_百度百科. https://baike.baidu.com/item/数列求和/7318680.
求数列的通项公式总结 - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/424162014.
等差数列求和公式及答题技巧 - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/357439130.
数学学习方法：等差数列求和公式+方法 - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/365793447.
等差数列求和公式 - 百度百科. https://baike.baidu.com/item/等差数列求和公式/7527418.
等差数列公式_百度百科. https://baike.baidu.com/item/等差数列公式/2907747.
如何用等差数列求和公式证明等差数列？ - 知乎. https://www.zhihu.com/question/383760005.

使用累加法计算“已知an＝1/n - 1/(n+1）求Sn的通项公式“

感谢您的提问。对于已知数列an=1/n-1/(n+1)，求Sn的通项公式，我们可以使用累加法来计算。累加法是一种求解数列通项公式的方法之一，它的原理是对数列的相邻两项之差进行累加，得到数列的前n项和，然后再通过求解前n项和的通项公式来得到数列的通项公式²。

对于这个数列，我们可以先求出前n项和Sn，然后再通过Sn来推导出通项公式。根据题目中给出的an=1/n-1/(n+1)，我们可以得到：

S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/n - 1/(n+1)) = 1 - 1/(n+1)

因此，这个数列的前n项和为1-1/(n+1)。接下来，我们可以通过求解前n项和的通项公式来得到数列的通项公式。由于这个数列不是等差数列，因此不能使用等差数列求和公式来计算³。

如果您还有其他问题，请随时问我。

源: 与必应的对话， 2023/4/28

高中数学：求数列通项公式的十一种方法（方法全 .... https://zhuanlan.zhihu.com/p/73032201.
【高考数学】5.16 累加法求通项 - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/369597335.
数列求和_百度百科. https://baike.baidu.com/item/数列求和/7318680.
高考数列通项公式解题方法（1）：观察法、公式法 .... https://zhuanlan.zhihu.com/p/103586796.

裂项相消

已知an=1/n(n+1) 求Sn

已知数列 $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$ ，求 $S_n$ 。

首先，我们可以把这个求和分成两部分，一种是通项为 $n$ 的，一种是通项为 $n$ 的平方的。

通项为 $n$ 的求和为：$$S_n=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}$$

通项为 $n$ 的平方的求和是本体的重点，现在介绍两种常用的方法。

方法一：裂项相消法

\begin{aligned} S_n&=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} \\ &=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\ &=1-\frac{1}{n+1} \\ &=\frac{n}{n+1} \end{aligned}

方法二：数学归纳法

当 $n=1$ 时，显然成立。

假设当 $n=k(k \geqslant 1)$ 时成立，则当 $n=k+1$ 时：

\begin{aligned} S_{k+1}&=S_k+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ &=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ &=\frac{k(k+3)}{(k+2)(k+3)} \\ &=\frac{k+1}{k+2} \end{aligned}

由数学归纳法可知，对于任意正整数 $n$ ，都有：

S_n=\frac{n}{n+1}

源: 与必应的对话， 2023/4/28

数列an=1/n前n项和的求法 - 百度知道. https://zhidao.baidu.com/question/365193151.html.
数列求和_百度百科. https://baike.baidu.com/item/数列求和/7318680.
an=n(n+1),sn=? 数学题目数列求和高中高一 - 百度知道. https://zhidao.baidu.com/question/89380634.html.
已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n/n+1)an,求an的通向公式,用叠加法. https://www.lishixinzhi.com/zs/post/653219.html.
已知an=1/[n*(n+1)],求Sn_作业帮. https://qb.zuoyebang.com/xfe-question/question/00b2b6934c5a6ca09ff8a6793019394c.html.

什么是裂项相消

裂项相消是一种数列求和方法，它可以将一个分数拆成两个分数之差的形式，从而使得原来的求和式子变得更加简单。裂项相消法在分数计算中经常用到，先将算式中的项进行拆分，拆成两个或多个数字单位的和或差，拆分后的项可以前后抵消。如果您还有其他问题，请告诉我。

源: 与必应的对话， 2023/4/28

什么是裂项法，裂项相消法例题详解和公式总结-百度 .... https://jingyan.baidu.com/article/0bc808fc8496ed5ad585b916.html.
高中数学必会裂项相消 - 百度经验. https://jingyan.baidu.com/article/a24b33cd78c2af58ff002b31.html.
带根号的裂项相消公式_百度知道. https://zhidao.baidu.com/question/592508045053078165.html.
数列必须满分系列(3.2) 数列求和---裂项相消 - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/39123013.
初中数学之裂项相消法 - 知乎. https://zhuanlan.zhihu.com/p/376399356.
数列中裂项相消法如何裂项？ - 知乎. https://www.zhihu.com/question/396939682.

后记

~~烈焰姐赢了, 人类的胜利(bus)~~ 查证固然重要, 但是查证的前提是得有足够的知识储备, 说实话Chatgpt开始给的答案着实让我一脸懵), 不过烈焰姐很轻松就判断出来chatgpt的答案是错误的了, 着实让人佩服. 工具的上限取决于使用的人 ,让我很清楚的明白了这个道理)

另外，是烈焰姐告诉我的“焰式解法”，我总结过后扔这里了，很简单的方法，就是有点玄学XD

202304282117252.png (715×418) (imc.re)

向量求和法

本文采用 CC BY-NC-SA 4.0 许可协议，转载请注明出处。